有限元软件中应力计算结果与材料力学中应力的对应关系

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在不同的有限元分析软件中，应力计算结果的标识符号也不相同，很多初学者往往在完成有限元分析计算后，不知道查看哪一个应力计算结果，同时对有限元计算的应力结果与材料力学中常见的应力的对应关系也不清楚。下面分别以常用有限元软件ANSYS和ABAQUS为例，讲解其应力对应关系。

材料力学中常见应力的关系

假设在三维空间中，物质内部点P的邻域内作一小六面体元，其应力状态如图所示，

每个微元面上对应三个方向的应力分量，两个对面上的应力结果是等值反号的关系，所以独立的应力分量结果有6个，分别为 $\sigma_x、 \sigma_y、 \sigma_z、 \tau_{xy}、 \tau_{yz}、 \tau_{xz}$ 。根据弹性理论，任意点处的一个无限小体积可以自由旋转到仅有正应力而剪切应力为零的状态，这三个正应力就称为主应力。

列出微元体的特征方程 $\sigma^{3}-I_{1} \sigma^{2}+I_{2} \sigma-I_{3}=0$ ，其中：

$I_{1}=\sigma_x+\sigma_y+\sigma_z$ ；

$I_{2}=\sigma_x\sigma_y+\sigma_y\sigma_z+\sigma_z\sigma_x-\tau_{yz}^2-\tau_{zx}^2-\tau_{xy}^2$ ；

$I_{3}=\sigma_x\sigma_y\sigma_z-\sigma_x\tau_{yz}^2-\sigma_y\tau_{zx}^2-\sigma_z\tau_{xy}^2+2\tau_{xy}\tau_{yz}\tau_{zx}$ ；

求解得到3个特征实根，按从大到小排列 $\sigma_1\geq{\sigma_2}\geq{\sigma_3}$ ，称为主应力。

等效应力(也称Von-Mises应力)，它遵循材料力学的第四强度理论(形状改变比能理论)，是一个综合的指标，用于预测塑性材料的屈服行为，能够帮助分析人员确定模型中应力最大的区域，

$\sigma_{e}=\sqrt{\frac{\left(\sigma_{1}-\sigma_{2}\right)^{2}+\left(\sigma_{2}-\sigma_{3}\right)^{2}+\left(\sigma_{3}-\sigma_{1}\right)^{2}}{2}}=\sqrt{\frac{\left(\sigma_{x}-\sigma_{y}\right)^{2}+\left(\sigma_{y}-\sigma_{z}\right)^{2}+\left(\sigma_{z}-\sigma_{x}\right)^{2}+6\left(\tau_{x y}^{2}+\tau_{y z}^{2}+\tau_{x z}^{2}\right)}{2}}$ 。